Attention : il faudra éviter n = -3 qui rend le dénominateur nul !
on veut donc (n²+1)/(n+3) = un entier naturel désigné par la lettre " k " .
Donc n²+1 = k * (n+3) donc n² - kn + 1-3k = 0 .
Discriminant Δ = k² - 4 * (1-3k) = k² + 12k - 4 = k² + 12k + 36 - 40 = (k+6)² - 40
= (k+6)² - (2√10)² = (k+6-2√10) * (k+6+2√10) .
Comme Δ doit être positif ( ou nul ), il faut k ≤ -6-2√10 OU k ≥ -6+2√10 .
k ≤ -12,4 OU k ≥ 0,4 environ .
" k" étant un entier naturel, k est positif, donc on retient k > 0,4 --> il faudra donc k = 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... --> k ∈ IN* .
■ prenons k = 1 --> n²+1 = n+3 --> n² - n - 2 = 0 --> (n+1)*(n-2) = 0 --> n = -1 OU n = 2 .
■ prenons k = 2 --> n²+1 = 2n+6 --> n² - 2n - 5 = 0 --> n²-2n+1 - 6 = 0
--> (n-1)² - (√6)² = 0 --> (n-1-√6) * (n-1 + √6) = 0 --> n = 1-√6 OU n = 4+√6 .
■ prenons k = 3 --> n²+1 = 3n+9 --> n² - 3n - 8 = 0 --> n²-3n+1,5² - 10,25 = 0
--> (n-1,5)² - (√10,25)² = 0 --> (n-1,5 - √10,25) * (n-1,5 + √10,25) = 0
--> n = 1,5-√10,25 OU n = 1,5+√10,25 .
Les solutions sont n = 0,5 * (k - √Δ) ;
n = 0,5 * (k + √Δ) avec Δ = k²+12k-4 et k ∈ IN* .
