Bonjour, voici un exercice de maths (terminale S) que je n'arrive pas à résoudre, j'aimerais bien le comprendre...


On admet l'encadrement (E) : "pour tout réel x appartient à [0;π[tex]x-\frac {x^3} 6 \leq sin x \leq x[/tex]]".
On pose pour tout n appartient à N*, n[tex]u_n=sin \frac {1}{n^{2}}+ sin \frac {2}{n^{2}}+...+sin \frac {n}{n^{2}}[/tex] et [tex]v_n=\frac {1} {n^2}+\frac {2} {n^2}+...+\frac {n} {n^2}[/tex].

L'objectif est d'étudier la convergence de la suite (u_n).

1. Déduire de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, [tex]u_n\leq v_n[/tex].
2. a) Justifier que pour tout n appartient à N*, [tex]1^3+2^3+...+n^3\leq n^4[/tex]
b) En déduire, à l'aide de l'encadrement (E) que, pour tout n appartient à N*, [tex]v_n- \frac {1}{6n^2}\leq u_n[/tex]
3. Montrer que [tex]\lim_{n \to \infty} v_n=\frac{1}{2}[/tex]. En déduire que la suite (u_n) est convergente vers un réel que l'on précisera.

J'ai réussi à faire :

1. On a : [tex]x-\frac{x^3}{6} \leq sin x \leq x[/tex]
Soit : [tex]sin x \leq x[/tex]
[tex]sin \frac{x}{x^2} \leq \frac{x}{x^2}[/tex]
Et donc : [tex]sin \frac{1}{x^2} +sin \frac{2}{x^2}+...+ \frac{x}{x²} \leq \frac{1}{x^2} +\frac{2}{x^2}+...+\frac{x}{x^2}[/tex]

On en déduit que [tex]u_n \leq v_n[/tex].

2. a ) Raisonnement par récurrence ? Mais dans ce cas quelle est l'hypothèse de récurrence ?
3. Je ne sais pas démontrer la limite de (v_n) mais si u_n<=v_n et v_n convergente alors la limite de v_n est telle que : limite u_n<=limite v_n.

Merci à vous :)