A est l'ensemble des couples (x, y) vérifiant x ∈ R, y ∈ R et x² + xy - 2y² + 5 = 0
On cherche à définir AxZ² c'est à dire les couples (x, y) vérifiant x² + xy - 2y² + 5 = 0 avec x ∈ Z et y ∈ Z (l'appartenance à Z est plus stricte que l'appartenance à R)
x² + xy - 2y² + 5 = 0
x² + xy -2y² = -5
x² + 2xy - xy - 2y² = -5
x (x + 2y) - y(x + 2y) = -5
(x - y) (x + 2y) = -5
5 est un nombre premier, il n'est divisible que par 1 ou 5
On a quatre cas à étudier
d'où y = x + 5 et x + 2(x + 5) = 1
soit y = x + 5 et 3x + 10 = 1
soit y = x + 5 et 3x = -9
soit x = -3 et y = 2.
x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide
d'où y = x - 5 et x + 2 (x - 5) = -1
soit y = x - 5 et 3x - 10 = -1
soit y = x - 5 et 3x = 9
soit x = 3 et y = -2
x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide
d'où y = x + 1 et x + 2(x+1) = 5
soit y = x + 1 et 3x + 2 = 5
soit y = x + 1 et 3x = 3
soit x = 1 et y = 2
x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide
d'ou y = x -1 et x + 2(x-1) = -5
soit y = x -1 et 3x -2 = -5
soit y = x - 1 et 3x = -3
soit x = -1 et y = -2
x et y sont bien dans Z donc il s'agit d'une solution valide
d'où AxZ² = {(-3; 2), (3; -2), (1; 2), (-1; -2)}
