3n + 2m est un multiple de k donc il existe un entier a tel que 3n + 2 m = ak
7n + 5m est un multiple de k donc il existe un entier b tel que 7n + 5m = bk
d'où
5 (3n +2 m) = 5 ak
15n + 10 m = 5 ak
et
2(7n +5m) = 2bk
14n + 10m = 2bk
En faisant la soustraction des deux, on obtient
(15n + 10 m) - (14n + 10m) = 5 ak - 2bk
n = (5a - 2b) k
a et b sont des entiers donc (5a -2b) est un entier, d'où n est un multiple de k
De la même manière on
7 (3n + 2m) = 7ak
21n + 14 m = 7 ak
et
3(7n + 5m) = 3 bk
21n + 15m = 3 bk
En faisant la soustraction des deux, on obtient
(21n + 15m) - (21n + 14 m) = 3 bk - 7 ak
m = (3b - 7a) k
a et b sont des entiers donc (3b - 7a) est un entier, d'où m est un multiple de k
Donc si (3n + 2m) et (7n + 5m) sont des multiples de k, alors n et m sont des multiples de k
