Bonjour,
KB + 5KC = 0 (1)
5JC = JA (2)
et I milieu de [AB] ⇔ AI = IB = AB/2 (3)
On veut démontrer que I, J et K sont alignés.
donc par exemple que IJ et IK sont colinéaires.
On va donc exprimer IJ et Ik dans la même base, c'est-à-dire avec le même couple de vecteurs : AB et AC
(1) ⇔ KB + 5(KB + BC) = 0
⇔ 6KB + 5BC = 0
⇔ 6(KA + AB) + 5(BA + AC) = 0
⇔ 6KA + 6AB - 5AB + 5AC = 0
⇔ 6KA = -AB - 5AC
⇔ AK = 1/6 x (AB + 5AC)
(2) ⇔ 5(JA + AC) - JA = 0
⇔ 4JA + 5AC = 0
⇔ AJ = 5/4 x AC
Maintenant on exprime IJ :
IJ = IA + AJ
= -1/2 x AB + 5/4 x AC
= 1/4 x (-2AB + 5AC) (4)
Puis IK :
IK = IA + AK
= -1/2 x AB + 1/6 x (AB + 5AC)
= -3/6 x AB + 1/6 x AB + 5/6 x AC
= -2/6 x AB + 5/6 x AC
= 1/6 x (-2AB + 5AC) (5)
D'après (4) et (5) :
4IJ = 6IK
ou encore : IJ = 3/2 x IK
⇒ IJ et IK sont colinéaires
⇒ I, J et K sont alignés
