0° ≤ â ≤ 45° donne 0 ≤ tan â ≤ tan45° or tan45° = 1 donc 0 ≤ tan â ≤ 1
d' où x ≤ tan x ≤ 4x/π .
seconde inégalité :
dérivons 3x --> cela donne 3 .
dérivons 2 sinx + tan x :
2 sin ' x + (sin x / cos x) ' = 2 cos x + (cos²x + sin²x)/cos²x
= 2 cos x + 1/cos²x = (2 cos³x + 1) / cos²x
cela revient à montrer que 2 cos³x + 1 > 3 cos²x
2 cos³x - 3 cos²x + 1 > 0
2 * (cos x - 1)² * (cos x + 0,5) > 0
cos x + 0,5 > 0
cos x > - 0,5 toujours vérifié puisque 0 < x < π/2
conclusion : 3x < 2 sin x + tan x vérifié ! ( pour 0 < x < π/2 )
