Raisonnement par l'absurde : supposons qu'il y soit, et montre alors que tu arrives à une contradiction, alors tu pourras conclure que la supposition initiale était erronée.
Donc s'il appartenait à Q , il pourrait se calculer comme le rapport de deux entiers√³= p sur q ,avec p ∈ N et q ∈ N
tu sais que ces fractions peuvent se simplifier de manière à ce qu'il n'y ait plus de facteur commun entre p et q ⇒p et q sont alors premiers entre eux. Éleve au carré : 3=p² sur q²
Alors tu as 3q²=p², autrement dit : 3 divise p²
Mais dans ce cas, si 3 est un facteur de la décomposition en facteurs premiers du carré p² , il est aussi un facteur de p ⇒ 3 divise p.
il existe donc un nombre r tel que p=3r ,tu as 3q²=p² qui devient
3q² =9r², donc q²=3r²
Donc 3 divise q² aussi, donc il divise q. Mais tu as pris le soin de réduire la fraction p sur q de manière à ce que p et q, justement, n'aient pas de facteur commun :tu arrives à la conclusion contradictoire que :
si tu fais l'hypothèse que √³ peut s'écrire comme une fraction irréductible de deux entiers, alors ces deux entiers ont 3 en facteur commun: l'hypothèse est erronée. √³∉Q
