1) soit f(x)=2√(x²+3x)-x+1
donc f'(x)=(2x+3)/√(x²+3x)-1=(2x+3-√(x²+3x))/√(x²+3x)
pour x<-3 alors f'(x)<0 et pour x>0 alors f'(x)>0
donc f est décroissante si x<3 et croissante si x>0
de plus f(-3)>0 et f(0)>0
donc ∀x∈]-∞;-3] U [0;+∞[ : f(x)>0
2) S(n)=1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/(n(n+1))=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))
donc S(n)=1-1/(n+1)=(n+1-1)/(n+1)=n/(n+1)
3) par récurrence sur n on montre que 3^n≥2n+1
initialisation : 3^0=1 et 2*0+1=1 donc 3^0≥2*0+1
hérédité : on suppose que 3^n≥2n+1
donc 3*3^n≥3(2n+1)
donc 3^(n+1)≥6n+3≥2(n+1)+1
par conséquent : ∀n∈IN : 3^n≥2n+1
