Bonjour,
Ex 3)
-1 ≤ sin(x) ≤ 1
⇒ 1 - 2 ≤ 1 + 2sin(x) ≤ 1 + 2
⇔ -1 ≤ 1 + 2sin(x) ≤ 3
Et, pour tout x ≥ 0, √x + 1 ≥ √x
Donc, pour tout x > 0, -1/√x ≤ f(x) ≤ 3/√x
2) lim -1/√x ≤ lim f(x) ≤ lim 3/√x quand x → +∞
⇒ 0 ≤ lim f(x) ≤ 0
⇒ lim f(x) = 0
Ex 4)
-1 ≤ cos(x) ≤ 1
⇒ 1 ≥ -cos(x) ≥ -1
⇒ 2 + 1 ≥ 2 - cos(x) ≥ 2 - 1
⇔ 3 ≥ 2 - cos(x) ≥ 1
⇒ 1/3 ≤ 1/(2 - cos(x)) ≤ 1
2) 1/3 ≤ lim 1/(2 - cos(x)) ≤ 1
⇒ x/3 ≤ lim x/(2 - cos(x)) ≤ x (x → +∞ donc x > 0)
⇒ lim x/(2 - cos(x)) = +∞
(x + cos(x))/(2 + cos(x)) = x/(2 + cos(x)) + cos(x)/(2 + cos(x))
x/(2 + cos(x)) → +∞
et cos(x)/3 ≤ cos(x)/(2 + cos(x)) ≤ cos(x)
⇒ -1/3 ≤ cos(x)/(2 + cos(x)) ≤ 1 (car -1 ≤ cos(x) ≤ 1)
donc -1/3 ≤ lim cos(x)/(2 + cos(x)) ≤ 1
⇒ lim (x + cos(x))/(2 + cos(x)) = +∞ ("+∞ - 1/3 = +∞ + 1 = +∞")
