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DREFTJVIZ
résolu

bonjour je possède un exercice mais je suis bloquer car je n’arrive pas étudier le signe de la fonction pouvez vous m'aider?

exercice: on considère la fonction F définie sur ℝpar F(x) [tex]\frac{x^{3} - x^{2} - 1}{x^{2} +1}[/tex] . Démontrer que l'équation F(x)=0 admet une unique solution a dans [0;2] et que l'équation F(x) = 2 admet une unique solution b dans [0;5]. Donner une valeur approchée arrondie a [tex]10^{-2}[/tex] de a et b

pour le moment j'aurais trouvé que F'(x)= [tex]\frac{(3x^{2} -2x) (x^{2} +1) + (x^{3} - x^{2} -1) (2x) }{(x^{2} +1)^{2} }[/tex] mais je suis bloquer a partir de la pouvez vous m'aider ?

Répondre :

salut

f'(x)=          u= x^3-x²-1             u'= 3x²-2x

                v= x²+1                   v'= 2x

( le dénominateur je le mettrais à la fin du calcul)

(3x²-2x)(x²+1)- [ 2x(x^3-x²-1) ]

3x^4-2x^3+3x²-2x-2x^4+2x^3+2x

3x^4-2x^4+3x²

2x^4+3x²

on factorise par x²

(x²(2x²+3))/(x²+1)²  = f '(x)

f '(x) >0

x                   0                                     2

f'                                   +

                                                      3/5

f                                      /

                      -1

f est continue est strictement croissante sur [ 0 ; 2 ] de plus 0 appartient à

[ f(0) ; f(2) ] donc f(x)=0 admet une solution  unique alpha  sur [ 0 ; 2 ]

alpha= 1.47

f est continue est strictement croissante sur [ 0 ; 5 ] , pour tout réel alpha se l'intervalle [ f(0) ; f(5) ] = [ -1 ; 3.8 ] il existe un unique réel tel que f(alpha)=2

alpha= 3.28


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