1)Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N*, Un ∈ Z
initialisation 3 ∈ Z
hérédité
si Un ∈ Z alors Un² ∈ Z donc 3Un² -6Un+2 ∈ Z cad Un+1∈ Z
2)Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N*, Un ≥ 3
initialisation 3 ≥ 3
hérédité Un+1 = 3Un² -6Un+2 = 3Un² -9Un + 3Un +2 =
3Un² -9Un + 3Un +2 = 3Un( Un -3 ) + 3Un +2
3Un( Un -3 ) + 3Un +2 ≥ 3Un +2 car Un ≥ 3
3Un +2 ≥11 car Un ≥ 3 donc Un+1 ≥ 11 ≥ 3
3)Démontrer par récurrence que Un est impair
initialisation 3 est impair
hérédité Un+1 = 2Un² -6Un+2 + Un²
or 2Un² -6Un+2 est pair et Un² est impair comme Un
Si on ajoute un nombre pair et un nombre impair , le résultat est impair donc Un+1 est impair
4) Démontrer que deux termes consécutifs sont premiers entre eux
supposons qu'ils aient un diviseur commun d autre que 1
alors Un =ad et Un+1 =bd donc bd = 3(ad)² - 6(ad) + 2 et
d( b - 3a²d + 6a) = 2 comme d est forcément impair il n'y a qu'une seule solution c'est que d = 1 (et b - 3a²d + 6a =2 ) absurde puisque d est autre que 1
