Bonjour,
1) Effectuer les calculs :
a) 123² -122² - 121² - 120²
= (120 + 3)² - (120 + 2)² - (120 + 1)² - (120 + 0)²
= 120² + (6 x 120) + 9 - [120² + 4 x 120 + 4] - [120² + (2 x 120 + 1] - 120²
= 120² + (6 x 120) + 9 - 120² - (4 x 120) - 4 - 120² - (2 x 120) - 1 - 120²
= (- 2 x 120²) + (120 x 0) + 9 - 4 - 1
= (- 2 x 120²) + 4
= - 28 800 + 4
= - 28 796
b) 12² - 11² - 10² - 9²
= (9 + 3)² - (9 + 2)² - (9 + 1)² - (9 + 0)²
= 9² + (6 x 9) + 9 - [9² + (4 x 9) + 4] - [9² + (2 x 9) + 1] - 9²
= 9² + (6 x 9) + 9 - 9² - (4 x 9) - 4 - 9² - (2 x 9) - 1 - 9²
= (- 2 x 9²) + (0 x 9) + 4
= (- 2 x 9²) + 4
= - 162 + 4
= - 158
c) 45² - 44² - 43² - 42²
= (42 + 3)² - (42 + 2)² - (42 + 1)² - (42 + 0)²
= 42² + (6 x 42) + 9 - [42² +(4 x 42) + 4] - [42² + (2 x 42) + 1] - 42²
= 42² + (6 x 42) + 9 - 42² - (4 x 42) - 4 - 42² - (2 x 42) - 1 - 42²
= (- 2 x 42²) + (0 x 42) + 4
= - 3 528 + 4
= - 3 524
3) Quelle conjoncture peut-on faire ?
On peut dire que le résultat est égal à l'opposé du double au carré ajouté de 4.
Soit :
(x + 3) ² - (x + 2) ² - (x + 1) ² - x ²
= - 2x² + 4
4) Ecrire une expression littérale correspondant à ce type de calcul.
- 2x² + 4
5) Développer et réduire cette expression pour démontrer la conjecture proposée :
(x + 3 ) ² - (x + 2) ² - (x + 1) ² - x²
= x² + 6x + 9 - (x² + 4x + 4) - (x² + 2x +1) - x²
= x² + 6x + 9 - x² -4x - 4 - x² - 2x - 1 - x²
= x² - x² - x² - x² + 6x - 4x - 2x + 9 - 4 - 1
= - 2x² + 4
