justifier la fonction √x est croissante sur [0;+∞[
a et b étant deux éléments de l'ensemble de définition on dit qu'une fonction f est croissante lorsque a<b => f(a) <f( b)
(autrement dit, dans le cas de l'exercice, plus un nombre augmente plus sa racine carrée augmente.
Soient deux réels de [0;+∞[ tels que a<b on étudie le signe de √a - √b
√a - √b = [(√a - √b)(√a + √b)]/ (√a + √b) d'où
√a - √b =( a - b)/(√a + √b)
j'ai multiplié les 2 termes de (√a - √b)/1 par √a + √b puis
j'ai utilisé un produit remarquable pour remplacer
(√a - √b)(√a + √b) par a - b
on observe ce résultat : √a - √b =( a - b)/(√a + √b)
le dénominateur est positif, √a - √b a le même signe que a - b
Puisque a<b alors on a : a - b <0 d'où √a - √b <0 et enfin √a < √b
d'après la définition donnée plus haut cette fonction est croissante sur son ensemble de définition
