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résolu

Bonjour,
Je suis en seconde
j'ai un problème avec l'exercice suivant :
n est un entier positif. On pose : a= (n+1) (n+2) et p = n(n+1)(n+2)(n+3)
a: montrer que p = a(a-2)
b : montrer que (p+1) est un carré parfait (le carré d'un entier)

merci d'avance de votre aide

Répondre :

CAYLUSVIZ

Bonjour,

a)

[tex]a=(n+1)(n+2)\\a-2=(n^2+3n+2)-2=n^2+3n=n(n+3)\\a*(a-2)=(n+1)(n+2)*n*(n+3)=n*(n+1)(n+2)(n+3)=p\\[/tex]


b)

[tex]p+1=a(a-2)+1=a^2-2a+1=(a-1)^2\\[/tex]

JPMORIN3VIZ

a = (n+1) (n+2)       p =n (n+1)(n+2)(n+3)

a) on exprime p en fonction de a

p = n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)(n+1)(n+2) = n(n+3) a

prenons a : a = (n+1) (n+2) = n² + 3n +2 = n(n+3) + 2  

on en déduit que n(n+3) = a - 2

on avait   p = n(n+3)a d'où p = (a-2)a

b) montrer que p+1 est un carré :

p+1 = (a-2)a + 1 = a² -2a + 1 = (a - 1)²

p est le carré de a - 1

a - 1 = (n² + 3n +2) - 1 = n² + 3n + 1

p + 1 = (n² + 3n + 1)²

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