Bonjour, pour la deuxième question, à ta place, j'utiliserais le théorème des valeurs intermédiaires...
En effet, admettons que je cherche à résoudre l'équation f(x)=f(0)+1.
La fonction f étant dérivable sur R, elle y est donc continue.
Si je me place sur l'intervalle [a ; 0], d'après la question 1. je sais que :
f(a)>f(0)+1
or, comme 0 < 1 alors, f(0) < f(0) + 1 (en ajoutant f(0) de chaque côté).
Donc, d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I), l'équation f(x)=f(0)+1 admet au moins une solution (alpha) sur l'intervalle ]a ; 0[.
Si je me place sur l'intervalle [0 ; b], d'après la question 1. je sais que :
f(b)>f(0)+1
or, comme 0 < 1 alors f(0) < f(0) + 1 (comme précédemment).
Donc, d'après le T.V.I, l'équation f(x)=f(0)+1 admet au moins une solution (bêta) sur l'intervalle ]0 ; b[.
On a donc f(alpha) = f(0) + 1 = f(bêta).
Voilà, j'espère avoir été suffisamment clair et, si ce n'est pas le cas, alors n'hésite pas, je complèterais.
Bonne journée.
