L'énoncé correct est : pour tout naturel n
2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ est divisible par 7
On le démontre par récurrence :
1) Calcul pour n=2
2x 9² - 9 x 2² = 2 x 81 - 9 x 4 = 126 = 7 x 18
2) je démontre que si cette propriété est vraie pour le rang n alors elle est vraie pour le rang n+1
Hypothèse : 2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ est divisible par 7
(j'ai un petit souci, je n'arrive pas à mettre n+1 en exposant, je vais utiliser "^")
2 x 9^n+1 - 9 x 2^n+1 = 2 x 9 x 9ⁿ - 9 x 2 x 2ⁿ
j'ai fait apparaître l'exposant est n.
J'écris le premier terme de cette différence sous la forme :
2 x 9 x 9ⁿ = 9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ + 9 x 2ⁿ)
cette différence devient :
9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ + 9 x 2ⁿ) - 9 x 2 x 2ⁿ elle est égale à
9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) + 81 x 2ⁿ - 18 x 2ⁿ =
9(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) + 63 x 2ⁿ on observe :
(2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) est un multiple de 7
63 x 2ⁿ aussi (63 = 7 x 18)
La somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7.
J'ai donc montré que si (2 x 9ⁿ - 9 x 2ⁿ) est un multiple de 7, alors 2 x 9^n+1 - 9 x 2^n+1 est un multiple de 7.
On termine le raisonnement : cette propriété est vraie pour le rang 2, si elle est vraie pour le rang n elle est vraie pour le rang n+1. Elle est donc toujours vraie.
