Question 1 :
Développons d'abord le terme à droite du signe <
[tex]2x+3<5(-x+1)\iff 2x+3<-5x+5[/tex]
Ajoutons maintenant [tex]5x[/tex] à chacun des termes de cette inégalité :
[tex]2x+3<-5x+5 \iff 2x+3+5x<-5x+5+5x[/tex]
Donc :
[tex]2x+3+5x<-5x+5+5x\iff 7x+3<5[/tex]
(J'ai écris toutes ces étapes pour comprendre mais, lorsque tu fais ce calcul, il faut aller plus vite. Pour cela, tu peux dire que pour passer de
[tex]2x+3<-5x+5[/tex] à [tex]7x+3<5[/tex], c'est [tex]-5x[/tex] qui est passé de la droite à la gauche du signe <
Quand on passe un terme de l'autre côté, il faut en changer le signe.
On obtient donc [tex]2x+3+5x<5 \iff 7x+3<5[/tex]. Je vais maintenant utiliser cette méthode.)
[tex]7x+3<5 \iff 7x<5-3\iff 7x<2[/tex]
L'objectif est de n'avoir que [tex]x[/tex] à gauche de ≤
Pour cela, divisons maintenant chacun des termes de cette inégalité par 7 :
[tex]7x<2 \iff x<\frac{2}{7}[/tex]
Conclusion :
[tex]2x+3<5(-x+1)\iff x<\frac{2}{7}[/tex]
Question 2 :
Nous allons être un peu plus rapide en utilisant le changement de signe, expliqué dans la question 1, lorsque l'on passe un terme d'un côté à l'autre du signe ≥
[tex]\frac{2}{3} x-\frac{1}{4} \geq \frac{1}{5} x+2\iff \frac{2}{3} x-\frac{1}{5}x\geq 2+\frac{1}{4}[/tex]
Il faut maintenant faire un calcul de fraction, en mettant au même dénominateur, les fractions situées dans le terme à gauche du signe ≥ :
[tex]\frac{2}{3} x-\frac{1}{5}x\geq 2+\frac{1}{4} \iff \frac{10}{15} x-\frac{3}{15} x\geq 2+\frac{1}{4}[/tex]
Faisons de même pour le calcul à droite du signe ≥.
En effet, nous pouvons écrire 2 sous la forme d'une fraction avec 4 au dénominateur :
[tex]2 = \frac{8}{4}[/tex]
Donc :
[tex]\frac{10}{15} x-\frac{3}{15} x\geq 2+\frac{1}{4} \iff \frac{10}{15} x-\frac{3}{15} x\geq \frac{8}{4} +\frac{1}{4}[/tex]
Donc en calculant chacun des termes à droite et à gauche de ≥, nous trouvons :
[tex]\frac{7}{15} x\geq \frac{9}{4}[/tex]
Comme nous l'avons fait dans la question 1, nous voulons n'avoir que [tex]x[/tex] à gauche de ≥.
Donc nous allons multiplier chacun des termes de l'inégalité par l'inverse de [tex]\frac{7}{15}[/tex] :
[tex]\frac{7}{15} x\geq \frac{9}{4} \iff \frac{15}{7} \times \frac{7}{15} x\geq \frac{15}{7} \times \frac{9}{4} \iff x\geq \frac{135}{28}[/tex]
Conclusion :
[tex]\frac{2}{3} x-\frac{1}{4} \geq \frac{1}{5} x+2 \iff x\geq \frac{135}{28}[/tex]
