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bonsoir
h(x) = ( x - 3)² - 4 ( x + 1)²
forme développée
h(x) = x² - 6 x + 9 - 4 ( x² + 2 x + 1)
h(x) = x² - 6 x + 9 - 4 x² - 8 x - 4
h(x) = - 3 x² - 14 x + 5
forme factorisée
h(x) = ( x - 3)² - ( 4 x + 4 )²
h(x) = ( x - 3 + 4 x + 4 ) ( x - 3 - 4 x - 4 )
h ( x ) = ( 5 x + 1) ( - 3 x - 7 )
forme canonique de h(x) = - 3 x² - 14 x + 5
α = - ( -14) / - 6 = 14/-6 = - 7/3
β = - 3 ( -7/3)² - 14 ( -7/3) + 5
β = - 3 * 49/9 + 98/3 + 5
β = - 147/9 + 294/9 + 45/9 = 192/9 = 64/3
h(x) = - 3 ( x + 7/3)² + 64/3
forme factorisée = ( 5 x + 1) ( - 3 x - 7)
h ( - √2) = ( - 5 √2 + 1 ) ( 3 √2 - 7)
h ( - √2) = - 15√4 + 35 √2 + 3 √2 - 7
h ( - √2) = - 30 + 38√2 - 7 = - 37 + 38√2
pour les antécédents, tu calcules le Δ à partir de la forme développée
h(x) < 0 idem et e idem
h(x) = (x - 3)² - 4(x + 1)²
a) déterminer la forme développée
h(x) = x² - 6 x + 9 - 4 x² - 8 x - 4
= - 3 x² - 14 x + 5
b) déterminer la forme factorisée de h
h(x) = (x - 3)² - 4(x + 1)² = (x - 3 - 2 x - 2)(x - 3 + 2 x + 2)
= (- x - 5)(3 x - 1)
c) déterminer la forme canonique de h
h(x) = - 3 x² - 14 x + 5
h(x) = a(x - α)² + β
α = - b/2a = 14/-6 = - 7/3
β = f(α) = f(-7/3) = - 3(-7/3)² - 14(-7/3) + 5 = 49/3+ 15/3 = 64/3
h(x) = - 3(x + 7/3)² + 64/3
d) répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus appropriée
a) calculer l'image de - √2
f(- √2) = - 3 (-√2)² - 14 (-√2) + 5 = - 6 + 14√2 + 5 = - 1+14√2
b) calculer le ou les antécédents de 5 par h
h(x) = 5 = - 3 x² - 14 x + 5 ⇔ - 3 x² - 14 x = 0 ⇔ - x(3 x + 14) = 0 ⇒ x = - 14/3
c) déterminer l'extremum de h sur R
en utilisant la forme canonique h(x) = - 3(x + 7/3)² + 64/3
Max = 64/3 atteint pour x = - 7/3
d) résoudre h(x) < 0 ⇔(- x - 5)(3 x - 1) < 0 l'ensemble des solutions
S = ]- ∞ ; - 5[U]1/3 ; + ∞[
e) résoudre h(x) < 64/3 ⇔ - 3(x + 7/3)² + 64/3 < 64/3 ⇔ - 3(x + 7/3)² < 0
⇒ (x + 7/3)² > 0 quel que soit x l'ensemble des solutions est R
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