Observons les résultats de [tex]A^n[/tex] pour de petites valeurs de [tex]n[/tex]:
[tex]A^1 = \left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]\\\\\\A^2 = \left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\cdot1+2\cdot0&1\cdot2+2\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot2+\cdot1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&4\\0&1\end{matrix}\right][/tex]
[tex]A^3 = \left[\begin{matrix}1&4\\0&1\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\cdot1+4\cdot0&1\cdot2+4\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot2+\cdot1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&6\\0&1\end{matrix}\right]\\\\\\\\A^4 = \left[\begin{matrix}1&6\\0&1\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1&8\\0&1\end{matrix}\right][/tex]
Etc...
Alors, que pouvons-nous supposer à propos de la formule générale de [tex]A^n[/tex]? Il est possible de penser que:
[tex]A^n = \left[\begin{matrix}1&2n\\0&1\end{matrix}\right][/tex]
Pour [tex]n=1[/tex], nous avons déjà prouvé. Maintenant, nous devons prouver pour un terme général. Supposons que la formule soit valide pour [tex]n=k[/tex]. Ensuite:
[tex]A^k = \left[\begin{matrix}1&2k\\0&1\end{matrix}\right][/tex]
Nous allons essayer de montrer que la formule fonctionne toujours pour [tex]n=k+1[/tex]. Multiplier les deux côtés par [tex]A[/tex] ci-dessus:
[tex]A^k\cdot A= \left[\begin{matrix}1&2k\\0&1\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}1&2\\0&1\end{matrix}\right]\\\\\\A^{k+1} = \left[\begin{matrix}1\cdot1+2k\cdot0&1\cdot2+2k\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0&0\cdot2+1\cdot1\end{matrix}\right]\\\\\\\\A^{k+1} = \left[\begin{matrix}1&2(k+1)\\0&1\end{matrix}\right][/tex]
Ainsi, nos soupçons ont été confirmés! Le terme général est:
[tex]\boxed{A^n = \left[\begin{matrix}1&2n\\0&1\end{matrix}\right]}[/tex]
Note: ce genre de preuve que nous avons faite s'appelle "Principe d'Induction mathématique"
