Bonjour,
1) f(x) = [cos(x) - 1]/x
= [cos(x) - cos(0)]/(x - 0)
= Taux d'accroissement de la fonction cos(x) en x = 0
donc par définition du nombre dérivé :
lim f(x) quand x → 0 = dérivée de cos(x) en x = 0
= -sin(0)
= 0
= f(0)
⇒ f est continue en 0
2) Pour x ≠ 0 :
f'(x) = [-xsin(x) - (cos(x) - 1)]/x²
= [-xsin(x) - cos(x) + 1]/x²
lim f'(x) quand x → 0 = lim [-cos(x) + 1]/x² (car lim xsin(x) = 0)
on va "trafiquer" un peu [1 - cos(x)]/x²
[1 - cox(x)]/x²
= [1 - cos(x)][1 + cos(x)]/x²[1 + cos(x)]
= [1 - cos²(x)]/x²[1 + cos(x)]
= sin²(x)/x²[1 + cos(x)]
donc lim f(x) en 0 = lim sin²(x)/x²[1 + cos(x)]
= lim sin²(x)/2x² car lim cos(x) = 1 donc lim [1 + cos(x)] = 2
= 1/2 * lim [sin(x)/x]²
lim en 0 de sin(x)/x = lim [sin(x) - sin(0)]/(x - 0) = cos(0) = 1
donc lim f(x) = 1/2 * 1 = 1/2
