1°) multiplions toute l' inéquation par (1+t²) :
(1-t²)(1+t²) ≤ 1 ≤ (1-t²+t4)(1+t²)
1 - t4 ≤ 1 ≤ 1+t²-t²-t4+t4+t6
1 - t4 ≤ 1 ≤ 1 + t6 qui est bien vérifiée
pour toute valeur de t .
2°) multiplions l' inégalité par x ( positif )
et remplaçons t par (x/√3) :
x - x³/3 ≤ 1 / (1+ x²/3) ≤ x - x³/3 + (x5 / 9)
x - x³/3 ≤ 3 / (1+x²) ≤ x - x³/3 + (x5 / 9)
x - x³/3 ≤ Arctan(x) ≤ x - x³/3 + (x5 / 9)
3°) reprenons l' inéquation :
-x³/3 ≤ Atan(x) - x ≤ -x³/3 + (x5 / 9)
-1/3 ≤ (Atanx -x)/x³ ≤ -1/3 + x²/9
■ pour x tendant vers 0+ :
Lim (Atanx -x)/x³ = -1/3
■ vérif pour x = 0,001 :
(Atan0,001 -0,001) / 0,001³ ≈ -0,333334 ;
