Réponse :
4°) équation de la tangente : y = 3x - 2 .
Explications étape par étape
1°) ■ f(x) = √(x³+1) donne
f ' (x) = 0,5*3x²/√(x³+1) = 1,5x²/√(x³+1) ≥ 0
f ' (0) = 0 donc tangente horizontale .
■ f(x) = √(1 - 1/x) donne
f ' (x) = (0,5*1/x²)/√(1 - 1/x) = 0,5 /[ x²*√(1 - 1/x) ] ≥ 0
pour x tendant vers 0- , on a Lim f ' (x) = +∞
2°) ■ g1(x) = (x + 1/x) puiss4 donne
g1 ' (x) = 4(1 - 1/x²) * (x + 1/x)³
pour x tendant vers 0+ , on a Lim g1 ' (x) = -∞
( asymptote verticale )
■ g2(x) = 1/(x+2)puiss4 = (x+2)puiss(-4)
g2 ' (x) = -4 / (x+2)³ toujours négative sur ] -2 ; +∞ [
pour x tendant vers -2+ , on a Lim g2 ' (x) = -∞
3°) h(x) = √(x-1) / x donne h(1) = 0
h ' (x) = [ (0,5x/√(x-1)) - √(x-1) ] / x²
= [ (0,5x-x+1) / √(x-1) ] / x²
= (1-0,5x) / [ x²√(x-1) ]
pour x tendant vers 1+ , on a Lim h ' (x) = +∞
4°) f(x) = (x²-x+1)³ donne f(1) = 1
f ' (x) = 3 (2x-1) (x²-x+1)²
■ la dérivée est positive pour 2x-1 > 0 --> x > 0,5
négative pour 0 ≤ x < 0,5
■ f ' (1) = 3 donc l' équation de la tangente
au point T de coordonnées (1;1) est y = 3x - 2 .
