Bonjour,
B(x) = 0.5x³ - 4.5x² + 11.34x - 6 pour x ∈ [ 0.5 ; 4 ]
Partie A
1) B ' (x) = 1.5x² - 9x + 11.34
2a)
B ' (x) = 0 Δ = 12.96 deux solutions mais une seule est dans l'intervalle
x = 1.8
Tableau de variation
x 0.5 1.8 4
B ' (x) positive 0 négative
B(x) croissante décroissante
2b) Le Bénéfice sera maximal pour une production de 1800 cartes et
B(1.8) = 2.748 donc Le bénéfice sra de 274.80 = 2.75 € arrondi à l'euro près
3a)
B(x) a une racine évidente
B(3.5) = 0
B(x) = (x - 3.5) ( 0.5x²-2.75x+1.715)
on calcule la seconde racine en calculant
0.5x² - 2.75x + 1.715 = 0 Δ = 4.14 deux solutions mais une seule dans l'intervalle [0.5 ; 4 ] x = 0.717
correspondant à une production de 717 cartes
b) B(x) ≥ 0 pour x ∈ [ 0.717 ; 3.5 ]
Le bénéfice sera nul ou positif pour une production comprise entre 717 et 3500 cartes
PARTIE B)
1) B"(x) = 3x-9
2) Le point d'inflexion de la courbe C aura pour abscisse 3 puisque
B" ( x) = 0
3) Lorsque la production horaire augmente jusqu'à 1800 cartes , le bénéfice augmente de façon accélérée
Lorsque la production augmente entre 1800 et 3000 cartes , le bénéfice diminue de façon accélérée
Lorsque la production augmente entre 3000 et 3500 cartes alors le bénéfice diminue de façon ralentie
PARTIE C)
1) Equation tangente T à la courbe C au point d'abscisse 3 :
y = B ' (3)(x - 3) + B(3)
y = -2.16 (x - 3) + 1.02
Y = -2.16x + 7.5
La courbe C sera située en dessous de la tangente T pour x < 3 puis au-dessus pour x > 3
Bonne journée
