Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour,
Montrons par récurrence sur n∈ℕ* la propriété P : "[tex]S_n=\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/tex]"
Initialisation :
[tex]S_1=\sum\limits_{k=1}^1 (2k-1)=2*1-1=1=1^2[/tex]
Donc P est vraie au rang 1.
Hérédité :
On suppose P vraie pour un certain n∈ℕ*
[tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = (2(n+1)-1)+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1) = 2n+2-1+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1) = 2n+1+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1)[/tex]
Or [tex]\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/tex] par hypothèse de récurrence
Ainsi, [tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) =2n+1+n^2=n^2+2n+1=(n+1)^2[/tex]
Donc P est vraie au rang n+1.
Conclusion :
∀n∈ℕ*, P est vraie.
