Réponse :
Explications étape par étape :
Un+1 = (3Un + 4) / (Un + 6)
avec Uo = 2 ; U1 = 1,25 ; U2 = 1,07 ; U3 = 1,02 ; ...
1°) supposons Un+1 > 1 , cela donne 3Un + 4 > Un + 6
donc 2 Un > 2
d' où Un > 1 .
2°) Un+1 - Un = (3Un + 4 - Un² - 6Un) / (Un + 6)
= (1 - Un) (Un + 4) / (Un + 6)
= du négatif !
donc Un+1 = Un - positif
d' où (Un) est bien une suite décroissante !
3a) Vn+1 = (Un+1 + 4) / (Un+1 - 1)
= (3Un + 4 + 4Un + 24) / ( 3Un + 4 - Un - 6)
= (7Un + 28) / (2Un - 2)
= 7 (Un + 4) / 2*(Un - 1 )
= 3,5 * Vn
donc (Vn) est bien une suite géométrique
de terme initial Vo = 6 et de raison q = 3,5 .
Vn = 6 * 3,5 puiss(n) .
3b) Vn = Un + 4 / Un -1 = Un - 1 + 5 / Un - 1
= 1 + [ 5 / (Un - 1) ]
donc Vn - 1 = 5 / (Un - 1)
donc Un - 1 = 5 / (Vn - 1)
Un = 5 + Vn - 1 / Vn - 1
Un = Vn + 4 / Vn - 1
Un = 6*3,5 puiss(n) + 4 / 6*3,5 puiss(n) - 1
Un = 6*7 puiss(n) + 4*2 puiss(n) / 6*7 puiss(n) - 2 puiss(n) .
4°) Sn = Vo + V1 + ... = Vo * (3,5 puiss(n) - 1) / 2,5
= 2,4 * [ 3,5 puiss(n) - 1 ] .
Tn = ?
( recopie le texte un peu mieux --> s' agit-il de U ou de V ? )
