Réponse :
Explications étape par étape
■ f(x) = -x*exp(-2x) + x - 1 .
■ dérivée f ' (x) = -exp(-2x) + 2x*exp(-2x) + 1
= (2x-1)*exp(-2x) + 1 .
■ résolvons (2x-1)*exp(-2x) + 1 > 1
(2x-1)*exp(-2x) > 0
2x - 1 > 0
2x > 1
x > 0,5 .
■ dérivée seconde f '' (x) = 2 exp(-2x) -2(2x-1)*exp(-2x)
= 4(1-x)*exp(-2x)
nulle pour x = 1 .
donc f ' est décroissante pour x > 1 .
■ f ' (0) = 0 ; f '' (0) = 4 .
f ' (x) est positive pour x > 0 .
■ f(x) = 0 donne x ≈ 1,12 ( à 0,01 près ! ) .
f(1) = -1/(e²) ≈ -0,135 ; f(2) = 1 - 2/(e puissance4) ≈ 0,963 ;
et f est croissante pour x > 0
donc il existe bien une valeur Xo de x telle que
1 < Xo < 2 ET f(Xo) = 0
tableau :
x --> 1 1,1 1,12 1,15 1,2 1,5 2
f(x) --> -0,135 -0,022 0 0,035 0,091 0,425 0,963
