Réponse :
1) développer f(x)
f(x) = (3 x + 1)² - 49
= 9 x² + 6 x + 1 - 49
= 9 x² + 6 x - 48
2) factoriser f(x)
f(x) = (3 x + 1)² - 49 ⇔ f(x) = (3 x + 1)² - 7² identité remarquable
a²-b² = (a+b)(a-b)
Explications étape par étape
f(x) = (3 x + 1)² - 7² = (3 x + 1 +7)(3 x + 1 - 7) = (3 x + 8)(3 x - 6)
f(x) = 3(3 x + 8)(x - 2)
a) calculer les images par f de : 0, - 1/3, 2 et √5
f(x) = 9 x² + 6 x - 48 ⇒ f(0) = - 48
f(- 1/3) = (3(-1/3) + 8)(3(-1/3) - 6)
= (- 1 +8)(- 1 - 6)
= 7(- 7) = - 49
f(x) = 3(3 x + 8)(x - 2) ⇒ f(2) = 0
f(x) = 9 x² + 6 x - 48 ⇒ f(√5) = 9*√5² + 6√5 - 48
= 45 + 6√5 - 48
= - 3 + 6√5
f(√5) = 3(2√5 - 1)
b) résoudre f(x) = 0 ⇔ f(x) = 3(3 x + 8)(x - 2) = 0 ⇒ 3 x + 8 = 0 ⇒ x = - 8/3 ou x - 2 = 0 ⇒ x = 2
c) résoudre f(x) = 9 x²
f(x) = 9 x² + 6 x - 48 = 9 x² ⇔ 6 x - 48 = 0 ⇒ x = 48/6 = 8
d) montrer que - 49 est le minimum de f
la forme de départ f(x) = (3 x + 1) - 49 est une forme canonique
de f(x) = 9 x² + 6 x - 48
où α = - b/2a = - 6/18 = - 1/3
β = f(- 1/3) = 9(-1/3)² + 6(-1/3) - 48
= 1 - 2 - 48 = - 49
(α ; β) sont les coordonnées du sommet de la parabole
donc x = α = - 1/3 et y = β = - 49
