1)
a) Distance de A à M
A(0;1) M(x;y) AM² = (x-0)² + (y-1)² = x²+(y-1)²
AM = √[x²+(y-1)²]
b) M est un point de (d) y = x - 4
je remplace y par x-4 dans l'expression de cette distance : x²+(y-1)²
AM² = x² + (x-4-1)² = x² + (x-5)² = je développe et réduis
AM² = 2x² - 10x + 25 AM = √(2x² - 10x + 25)
2)
a) f définie sur R
le trinôme 2x² - 10x + 25 a pour discriminant ∆ = (-10)² - 4 (2)(25)= -100
Il est négatif, 2x² - 10x + 25 ne s'annule pas, il garde toujours le signe du coefficient de x² qui est "+"
2x² - 10x + 25 est toujours positif et sa racine carrée est définie sur R
b) u(x) = 2x² - 10x + 25
u'(x) = 4x - 10 4x - 10 s'annule pour x = 2,5
-∞ 2,5 +∞
____________________________________________________
4x - 10 - 0 +
u(x) +∞ décroissante 25 croissante +∞
des nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
f(x) décroît de +∞ à un minimum obtenu pour x = 2,5 et recroît jusqu'à +∞
remarque: on sait que la distance de A à la droite sera minimale lorsque AM sera perpendiculaire à (d). On peut lire les coordonnées de ce point sur la figure (2,5;-1,5)
