Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = (1/2a)(exp(ax)+exp(-ax))+b
avec -5 < x < 5 et 0,2 < a < 1
■ dérivée f ' (x) = (1/2a)(a exp(ax)-a exp(-ax))
= 0,5(exp(ax)-exp(-ax)) .
cette dérivée est positive pour exp(ax) > exp(-ax)
ax > -ax
x > -x
pour x > 0 .
■ f(0) = (1/2a)*2 + b = 1/a + b = -3 --> b = -1/a - 3
--> ab = -1 - 3a ;
f(5) = (1/2a)(exp(5a)+exp(-5a)) + b = 0
--> exp(5a)+exp(-5a) + 2ab = 0
--> exp(5a)+exp(-5a) - 2 - 6a = 0 .
■ g(x) = exp(5x)+exp(-5x) - 2 - 6x donne :
g ' (x) = 5 exp(5x) - 5 exp(-5x) - 6
cette dérivée est positive ( avec X = exp(5x) )
pour 5 X - 5/X - 6 > 0
5X² - 6X - 5 > 0
X > 1,76619038
exp(5x) > 1,76619038
5x > 0,5688249
x > 0,11376498
on retiendra que la fonction g
est donc croissante pour x > 0,2 .
■ recherche de la valeur de a :
intersection de la courbe
d' équation Y1 = exp(5a)+exp(-5a)
et de la droite d' équation Y2 = 6a + 2 .
a ≈ 0,217652928
--> a ≈ 0,218 ( arrondi au millième ! ) .
3°) Longueur du câble ?
