RĂ©ponse :
Explications Ă©tape par Ă©tape
[tex]\frac 12 (\ln a + \ln b) = \frac 12 \ln(ab) = \ln(\sqrt{ab})\\[/tex]
comme la fonction ln est monotone croissante [tex]a>b \Leftrightarrow \ln a > \ln b[/tex] Il en est de mĂŞme pour la fonction racine
On peut donc 1 : enlever les "ln", 2 : élever au carré, ce qui nous donne, à gauche 1/4(a²+2ab+b²) et à droite ab
L'inégalité est équivalente a
1/4(a²+2ab+b²)-ab >= 0 c'est-à -dire 1/4(a²-2ab+b²) >=0
On reconnait à gauche le carré de 1/2(a-b) qui est donc toujours positif ou nul. L'inégalité est bien vérifiée
