Bonjour;
Exercice n° 15 .
1)
2 + x/6 ≤ √(4 + x) ≤ 2 + x/4 ⇔ (12 + x)/6 ≤ √(x + 4) ≤ (8 + x)/4
⇔ (24 + 2x)/12 ≤ √(x + 4) ≤ (24 + 3x)/12
⇔ 24 + 2x ≤ 12√(x + 4) ≤ (24 + 3x)
⇔2(12 + x) ≤ 12√(x + 4) ≤ 3(8 + x)
⇔4(12 + x)² ≤144(x + 4) ≤ 9(8 + x)²
⇔ 4(144 + 24x + x²) ≤ 144x + 576 ≤ 9(64 + 16x + x²)
⇔576 + 96x + 4x² ≤ 144x + 576 ≤ 576 + 144x + 9x²
⇔ 96x + 4x² ≤ 144x ≤ 144x + 9x²
⇔ 4x² ≤ 48x ≤ 48x + 9x²
⇔4x² - 48x ≤ 0 ≤ 9x²
⇔4x(x - 12) ≤ 0 ≤ 9x² qui est vraie car x - 12 < 0 et 9x² ≥ 0 ;
donc pour x ∈ [0 ; 1] on a : 2 + x/6 ≤ √(4 + x) ≤ 2 + x/4 .
2)
En prenant dans l'inégalité de la question 1 ; x = 0,36 ;
on a : 2 + 0,36/6 ≤ √(4 + 0,36) ≤ 2 + 0,36/4
⇔ 2 + 0,06 ≤ √(4,36) ≤ 2 + 0,09
⇔ 2,06 ≤ √(4,36) ≤ 2,09 qui est un encadrement de √(4,36)
d'amplitude 0,03 = 3 x 10^(-2) .
