Bonjour,
N'ayant pas reçu le cours, je vais tenter d'y répondre.
Cette série s'appelle "alternating factorials" https://oeis.org/A058006
1)
On va démontrer que
[tex]\sum_{i=1}^{n}i! < (n+1)!\\\\a) Vrai\ pour\ n=1\ car\ 1! < 2!\ (1 < 2)\\b) Vrai\ pour\ n\ \Longrightarrow\ vrai\ pour\ n+1\\\\1!+2!+!3!+...+n! < (n+1)!\\\\\Longrightarrow\ 1!+2!+!3!+...+n! +(n+1)! <(n+1)! + (n+1)!=2*(n+1)! < (n+2)! \\\\car\ 2\ <\ n+2\\\\[/tex]
[tex]\Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n-1}i! < n!\\\\\Longrightarrow\ -\sum_{i=1}^{n-1}i! > - n!\\\\-n! < -\sum_{i=1}^{n-1}i! <\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i *i! < \sum_{i=1}^{n-1}i! < n!\\[/tex]
