Réponse :
a) quel est l'ensemble de définition de f
Df = [0 ; 6]
b) exprimer MN puis MP en fonction de x
AI = AM+ MI
BI = BN + NI
.............................................
AI+BI = AM+BN + MI+NI
AB = 2 x + MN ⇒ MN = AB - 2 x
MN = AB - 2 x = 12 - 2 x
on sait que AB = AI+BI
Explications étape par étape
exprimer MP en fonction de x
soit IC , la hauteur du segment AB
le triangle AIC est rectangle en I ⇒ théorème de Pythagore
AC² = AI²+IC² ⇒ IC² = AC² - AI² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108
⇒ IC = √108 = √36*3 = 6√3
(MP) // (IC) ⇒ théorème de Thalès
AM/AI = MP/IC ⇒ MP = AM*IC/AI = x * 6√3/6 = x√3
⇒ MP = x√3
en déduire l'expression algébrique de f(x)
f(x) = x√3 * (12 - 2 x) = 12 x√3 - 2 x²√3
⇒ f(x) = (12√3) x - (2√3) x²
= 2√3( 6 x - x²)
c) calculer f(3)
f(3) = 2√3(18 - 9) = 18√3
puis vérifier pour tout x ∈[0 ; 6[
f(x) - f(3) = - 2√3(x-3)²
f(x) - f(3) = 2√3(6 x - x²) - 18√3
= - 2√3 x² + 12√3 x - 18√3
= - 2√3(x² - 6 x + 9)
= - 2√3(x - 3)²
d) en déduire que f(3) est le maximum de f sur [0 ; 6[
f(x) - f(3) = - 2√3(x - 3)² ⇒ f(x) = - 2√3(x - 3)² + f(3)
f(x) est une forme canonique de la forme a(x - α)² + β
où β = f(α) ⇒ a(x - α)² + f(α) où a < 0 ⇒ f(α) représente le maximum de la fonction f donc f(3) représente le maximum de la fonction f
e) quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale
pour x = 3 ⇒ MN = 12 - 6 = 6
⇒ MP = 3√3
