Bonjour,
f(x) = xeˣ/(eˣ + 1)
1) f'(x) = [(eˣ + xeˣ)(eˣ + 1) - xeˣeˣ]/(eˣ + 1)²
= (e²ˣ + eˣ + xeˣ)/(eˣ + 1)²
= eˣ(eˣ + x + 1)/(eˣ + 1)²
Il manque la partie A pour connaître g(x)...
Donc je suppose g(x) = eˣ + x + 1 (donc f'(x) est du signe de g(x))
soit g'(x) = eˣ + 1 > 0 ⇒ g croissante sur R
lim g(x) en -∞ = -∞, lim g(x) en +∞ = +∞
⇒ il existe un unique α ∈ R / g(α) = 0
On trouve α ≈ -1,278 à 10⁻³ près
On en a déduit le signe de g(x) :
x -∞ α +∞
g(x) - 0 +
Et donc je reprends... les variations de f(x) :
x -∞ α +∞
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. croissante
2) f(α) = αe^α/(e^α + 1)
On sait que g(α) = 0 ⇔ e^α + α + 1 = 0
⇒ e^α + 1 = -α et αe^α = α(-α - 1)
donc f(α) = α(-α - 1)/-α = α + 1
On en déduit f(α) ≈ -1,28 + 1 = -0,28 à 10⁻² près
3)a)
T₀ : y = f'(0)x + f(0) = x/2
b) f(x) - y = xeˣ/(eˣ + 1) - x/2
= [2xeˣ - x(eˣ + 1)]/2(eˣ + 1)
= x(eˣ - 1)/(eˣ + 1)
(eˣ + 1) > 0
Donc f(x) - y est du signe de x(eˣ - 1) :
x -∞ 0 +∞
x - 0 +
eˣ - 1 - 0 +
f(x) - y + 0 +
Donc la courbe est toujours au-dessus de la tangente T₀.
4) lim f(x) en -∞
= lim xeˣ car lim (eˣ + 1) = 1
= 0 (théorème croissances comparées)
⇒ L'axe des ordonnées y = 0 est asymptote horizontale à la courbe (C).
5)a) lim f(x) en +∞
= lim x car lim eˣ/(eˣ + 1) = lim eˣ/eˣ = 1
= +∞
b)
x -∞ α +∞
f(x) 0 décrois. f(α) croissante +∞
c) ci-dessous
