Réponse :
pièce rectangulaire de dimensions
L = 3 m et l = 2 m
on veut agrandir les dimensions de la pièce d'une même longueur x de manière que l'aire de la nouvelle pièce sera au moins égale au double de l'aire de la pièce de départ.
Dimensions de la nouvelle pièce : L' = 3 + x et l' = 2 + x
2) montrer qu'i revient à résoudre l'inéquation (3+x)(2+x) ≥ 12
l'aire de la nouvelle pièce est : A' = L' * l ' = (3 + x)(2+x)
et sachant que A ' ≥ 2 * A ⇔ (3 + x)(2+x) ≥ 2*6
⇔ (3 + x)(2+x) ≥ 12
3) montrer que cette inéquation peut s'écrire x² + 5 x - 6 ≥ 0
(3 + x)(2+x) ≥ 12 ⇔ 6 + 5 x + x² ≥ 12 ⇔ x² + 5 x - 12 + 6 ≥ 0
⇔x² + 5 x - 6 ≥ 0
4) a) développer l'expression (x - 1)(x + 6) = x² + 6 x - x - 6
= x² + 5 x - 6
b) en déduire la résolution de l'inéquation 3)
x² + 5 x - 6 ≥ 0 ⇔ (x - 1)(x+6) ≥ 0 ⇒ x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 et x + 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 6
Tableau de signe
x - ∞ - 6 1 + ∞
x- 1 - - 0 +
x+6 - 0 + +
P + 0 - 0 +
Dans le cas de ce problème on ne retient que les valeurs positives
S = [1 ; + ∞[
pour x = 1 ⇒(3 + 1)(2+1) = 12 vérifiée
pour x = 2 ⇒(3 + 2)(2+2) ≥ 12 ⇒ 20 ≥ 12
Explications étape par étape
