Réponse :
Explications étape par étape
Partie A)
[tex]f_k(x)=(x+k)e^x+x)\\[/tex]
Dans un premier temps, on va chercher le coefficient directeur de la tangente à Cf au point d'abscisse x=-2
[tex](x+k)e^x[/tex] est de la forme [tex]uv[/tex] dont la dérivée est [tex]u'v+uv'[/tex] avec [tex]u=(x+k)[/tex] et [tex]v=e^x[/tex]
[tex]u'=1[/tex] et [tex]v'=e^x[/tex]
Donc [tex]f_k'(x)=e^x+(x+k)e^x+1 =e^x(x+k+1)+1\\[/tex]
et [tex]f_k'(-2)=e^{-2}(k-1)+1\\[/tex]
Le coefficient directeur de la droite [tex]d[/tex] est égal à 1 et donc, si la droite est tangente à une courbe Cf, il faut :
[tex]f'_k(-2)=e^{-2}(k-1)+1=1\Rightarrow k=1[/tex]
Il ne reste qu'à vérifier que [tex]f_1(-2) = d(-2)=-2-e^{-2}\\f_1(-2)=(-2+1)e^{-2}+(-2)=-2-e^{-2}\\[/tex]
Partie B)
1)
La fonction [tex]g[/tex] se dérive comme la fonction [tex]f_k[/tex]
[tex]g_k'(x)=e^x+(x+1)e^x=e^x(x+2)[/tex]
Cette dérivée est du signe de [tex](x+2)[/tex]
[tex]\left[\begin{array}{cccccc}x&-\infty&&-2&&+\infty\\g'(x)&&-&0&+&\\g(x)&&\searrow&(-e^{-2}+e^{-2})=0&\nearrow\end{array}\right] \\[/tex]
2)
Comme [tex]g(x)=f(x)-d(x)[/tex] est toujours positive (ou nulle au point de tangence), la courbe Cf est toujours de la droite d
