Réponse :
Explications étape par étape
1)
[tex]f(x)=(1-x^2)e^{-x} = e^{-x}-x^2e^{-x}\\\lim_{x \to +\infty} e^{-x} =0\\[/tex]
Soit tu connais [tex]\lim_{x \to -\infty} x^ne^x =0[/tex] et c'est fini, soit on va écrire :
[tex]x^2e^{-x}=(2\frac{x}{2}e^{\frac{-x}{2}})^2\\ \text{et en posant }X=\frac{x}{2} \\x^2e^{-x}=4(Xe^{-X})\\\Rightarrow \lim_{x \to +\infty} x^2e^{-x}=\lim_{X \to +\infty}4(Xe^{-X})=0\\[/tex]
En conclusion :
[tex]\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty} (1-x^2)e^{-x} =0\\[/tex]
2a)
f est de la forme uv donc f'=u'v+uv'
avec
[tex]u(x)=1-x^2\quad u'(x)=-2x\\v(x)=e^{-x}\quad v'=-e^{-x}\\f'(x)=-2x e^{-x}-e^{-x}(1-x^2\\\mathbf{f'(x)=e^{-x}(x^2-2x-1)}\\[/tex]
2b)
Après calcul du déterminant [tex]\Delta= b^2-4ac=8=(2\sqrt 2)^2[/tex], on sait que [tex]x^2-2x-1[/tex] s'annule pour [tex]x\in\{1-\sqrt2;1+\sqrt2\}[/tex] et est positif (du signe de a) en dehors des racines
[tex]e^{-x}[/tex] est toujours positif. f'(x) est donc du signe du trinôme x²-2x-1
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccc}x&-1&&1-\sqrt2&&1+\sqrt2&&+\infty\\\\f'(x)&&+&0&-&0&+\\\\f(x)&0&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&0\end{array}\right|\\[/tex]
3)
A est de coordonnées (a;f(a))
On a :
a = 0
f(a)=f(0)=[tex]e^0[/tex]=1
f'(a)=f'(0)=[tex]e^{-a}(a^2-2a-1)=-e^0[/tex]=-1
équation de la tangente: y=f'(a)(x-a)+f(a)
y = x + 1
4) voir fichier joint (ATTENTION : Ne tracer qu'à partir de x=-1)
