Réponse :
Explications étape par étape
1a) Voir image jointe
1b)
[tex]f(x)=x^3-8x^2+19x-12\\f'(x)=3x^2-16x+19\\f'(4)=48-64+19=3\\[/tex]
1c)
Équation de la tangente au point d'abscisse "a" : [tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]
[tex]a=4\\f(a)=f(4)=4^3-8\times4^2+19\times4-12 = 64-124+76-12=0\\f'(a)=f'(4)=3\\y=3(x-4)\\\\\Longrightarrow\quad\quad\quad y=3x-12[/tex]
1d) Voir image jointe
2) Voir image jointe
[tex]f(x)\ge 0 \Leftrightarrow x\in [1;3]\cup[4;+\infty[\\[/tex]
3a)
[tex]g(x)=(x-1)(x^2-7x+12)\\g(x)=x(x^2-7x+12)-(x^2-7x+12)=x^3-7x^2+12x-x^2+7x-12\\g(x)=x^3-8x^2+19x-12=f(x)\\[/tex]
3b)
On cherche les racines du trinôme
discriminant (delta) = 1
racines 3 et 4
D'où le tableau de signes :
[tex]\left[\begin{array}{c|ccccccccc}x&-\infty&&1&&3&&4&&+\infty\\x-1&&-&0&+&&+&&+\\x^2-7x+12&&+&&+&0&-&0&+\\f(x)&&-&0&+&0&-&0&+\end{array}\right][/tex]
On retrouve
[tex]f(x)\ge 0 \Leftrightarrow x\in [1;3]\cup[4;+\infty[\\[/tex]
