Réponse :
f(x) = - 1/32) x³ + 3/16) x² définie sur [0 ; 4]
1) vérifier que les points O et A sont situés sur cette courbe
le point O(0 ; 0) ∈ Cf
le point A(4 ; 1) ⇒ f(4) = 1 = - 1/32)*4³ + 3/16)*4² = - 64/32 + 3 = - 2 + 3 = 1
⇒ A(4 ; 1) ∈ Cf
2) a) calculer la dérivée f ' de f
f (x) = - 1/32) x³ + 3/16) x² ⇒ f '(x) = - 3/32) x² + 6/16) x
montrer que pour tout x de [0 ; 4] : f ' (x) = - 3/32) x(x - 4)
f '(x) = - 3/32) x² + 6/16) x = - 3/32) x² + 12/32) x
= - 3/32) x(x - 4)
b) étudier le signe de f '(x) sur [0 ; 4] et donner le tableau de variation de f
x 0 4
f '(x) 0 + 1
x 0 4
f(x) 0 →→→→→→→→→→→→→→→→ 1
croissante
3) a) calculer f '(4). Donner une interprétation graphique de ce résultat
f '(x) = - 3/32) x(x - 4)
= - 3/32)4(4 - 4) = 0
⇒ f '(4) = 0 ⇒ la tangente au point d'abscisse 4 est horizontale
b) calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe C à l'origine
le coefficient directeur de la tangente à C en 0 est f '(0)
f '(0) = 0
Montrer que la tangente en O est l'axe des abscisses
y = f(0) + f '(0)(x - 0) ⇔ y = f(0) + f '(0) x
= 0 + 0 x ⇒ y = 0
4) Recopier et compléter le tableau suivant. Arrondir les valeurs au centième
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
f(x) 0 0.04 0.16 0.32 0.5 0.68 0.84 0.96 1
en cm 0 0.16 0.63 1.28 2 2.73 3.38 3.84 4
5) tracer la courbe C représentative de f et les tangentes
en prenant l'unité graphique de 4 cm
il suffit de placer les points sur le graphe et les tangentes en 0 et 4 sont des tangentes horizontales
je vous laisse le soin de faire le tracé
Explications étape par étape