je ne mets pas les flèches sur les vecteurs
1) Placer E tel que DE = 3/4AB
vectDE origine D
(DE) // (AB) E est donc sur (DC) puisque (AB) //(DC)
3/4 > 0 E et C sont d'un même côté de D
longueurDE = 3/4 longueurAB = 3/4 longueur DC (car les segments AB et DC ont même longueur).
A__________________B
D____|____|____|____C
E
Placer le point F tel que AF = -4/3AD
je fais le dessin
D___|___|___A___|___|___|___F
-4/3 < 0 ; D e F sont de part et d'autre de A
longueur AF/longueur AD = 4/3
2) Exprimer le vecteur AE en fonction des vecteurs AB et AD
pour trouver cette relation on utilise l'hypothèse et la relation de Chasles
on sait que DE = 3/4AB ; on va essayer de faire apparaître AD
(Là, il n'y a pas de truc. Il faut observer ce que l'on a et avoir un peu de flair)
pour faire apparaître AD j'écris AE = AD + DE (relation Chasles)
AE = AD + 3/4AB ou encore AE = 3/4AB + AD, (on a trouvé la relation)
3) Exprimer le vecteur BF en fonction de AB et AD
BF = BA + AF relation de Chasles
j'ai choisi BA parce que l'on doit avoir ce vecteur et j'ai vu que dans l'énoncé AF est fonction de AD (AF = -4/3AD)
BF = BA + AF = BA - 4/3AD
BF = -AB -4/3AD
4) Pour démontrer que les droites sont parallèles il faut montrer que les vecteurs sont colinéaires, c'est à dire que l'un d'eux est le produit de l'autre par un réel. Il faut trouver ce nombre.
AE = 3/4AB + AD
BF = -AB -4/3AD
si l'on choisit le repère (A ; AB ; AD)
coordonnées de AE : (3/4 ; 1) coordonnées de BF : (-1 ; -4/3)
ces vecteurs sont colinéaires si et seulement si il y a proportionnalité des coordonnées.
(3/4)/-1 = -3/4 1/(-4/3) = -3/4 (il y a proportionnalité) le coefficient est -3/4
AE = 3/4AB + AD = -3/4(-AB -4/3AD) = -3/4 BF
