Raisonnement à tenir :
On nous dit que le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain est égale au montant dépensé par le joueur, c'est-à-dire au coût du SMS. On peut donc introduire la variable c qui représente le coût du SMS.
On met alors cette affirmation en équation. Le jeu est équitable si E(X) = c. Une idée naturelle est alors de calculer E(X). On connaît la définition de l'espérance du gain, il s'agit du gain moyen (autrement dit la somme des gains multipliés par leur probabilité). On a donc
E(X) = 0 x P(X=0) + 5 x P(X=5) + 10 x P(X=10) = 5 x P(X=5) + 10 x P(X=10).
Or on connaît le nombre de cases totales n et le nombre de cases contenant 5 ou 10€ (3 et 1). On suppose implicitement que le joueur choisit la case selon une loi uniforme, mais pas besoin de le dire. On a donc P(X=5) = 3/n et P(X=10) = 1/n, donc
E(X) = 15/n + 10/n = 25/n.
Le jeu est donc équitable si 25/n = c. Maintenant on peut faire l'exercice.
a. L'énoncé donne c = 1, donc notre formule donne n = 25. Comme on a 4 cases de valeur 5 ou 10€, il reste 21 cases de valeur 0€.
b. L'énoncé donne n = 20, donc c = 25/20 = 1,25€.
