Réponse :
1) déterminer la nature de ces suites
Un = 3(- 2)ⁿ
Un+1/Un = 3(- 2)ⁿ⁺¹/3(- 2)ⁿ = (-2)¹ x (- 2)ⁿ/(- 2)ⁿ = - 2 = q c'est une suite géométrique de raison q = - 2 et de premier terme U0 = 3
Vn = (3n² - 3)/(2n+2) + 1
Vn+1/Vn = [(3(n+1)² - 3)/(2(n+1) + 2) + 1]/[(3n² - 3)/(2n+2) + 1]
[(3(n+1)² - 3)/(2(n+1) + 2) + 1] = [3(n² + 2n + 1) - 3]/(2(n+1) + 2)] + 1
(3n² + 6n + 3 - 3)/(2n + 4)] + 1 = [3n(n + 2)/2(n + 2)] + 1 = (3n/2) + 1 = (3n+2)/2
(3n² - 3)/(2n+2) + 1 = (3n² - 3 + 2n + 2)/2(n+ 1) = (3n²+2n - 1)/2(n+1)
= (3n - 1)(n+1)/2(n+1) = (3 n - 1)/2
Vn+1/Vn = (3n+2)/(3n-1) ⇒ (Vn) n'est pas géométrique
Vn+1 - Vn = 3n +2)/2 - (3n - 1)/2 = 1/2(3n + 2 - 3n + 1) = 1/2(3) = 3/2
(Vn) est une suite arithmétique de raison r = 3/2 et de premier terme V0 = -3/2
Wn = 5/2⁻ⁿ = 5 x 2ⁿ
Wn+1/Wn = 5 x 2ⁿ⁺¹/5x2ⁿ = 2 x 2ⁿ/2ⁿ = 2 = q
c'est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme U0 = 5
2) étudier la monotonie de ces trois suites
Un = 3(- 2)ⁿ est une suite géométrique de raison q = - 2 et de premier terme U0 = 3
q = - 2 < 0 alors U0 = 3 > 0 ; U1 = - 6 < 0 ; U2 = 12 > ; ... donc la suite (Un) n'est pas monotone (ni croissante, ni décroissante)
Vn = [(3n² - 3)/(2n + 1)] + 1 c'est une suite arithmétique de raison r = 3/2 et de premier terme V0 = - 3/2
pour tout entier naturel n
Vn+1 - Vn = 3/2 ⇒ Vn+1 - Vn > 0 ⇒ (Vn) est strictement croissante
Wn = 5/2⁻ⁿ = 5 x 2ⁿ
Wn+1/Wn = 5 x 2ⁿ⁺¹/5 x 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹/2ⁿ = 2 x 2ⁿ/2ⁿ = 2
Wn+1/Wn = 2 > 1 ⇒ (Wn) est strictement croissante
Explications étape par étape