Bonsoir,
(1) Montrons par récurrence, sur n∈ℕ*, la propriété P : [tex]"\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}"[/tex]
Initialisation : [tex]\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}[/tex], d'où [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{1+1}[/tex], donc P est vraie au rang 1.
Hérédité : On suppose P vraie pour un certain n∈ℕ*. Montrons que P est vraie au rang (n+1). Comme n est strictement positif, alors [tex]0 < \frac{1}{2n+1}[/tex], d'où [tex]0 \leq \frac{1}{2n+1}[/tex], d'où [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}[/tex], or [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}[/tex] par hypothèse de récurrence, d'où [tex]\frac{1}{2} \leq \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}[/tex], donc P est vraie au rang (n+1).
Conclusion : Pour tout n∈ℕ*, P est vraie.
(2) Soient p,k∈ℝ tels que p+k ≠ 0
Alors [tex]\frac{1}{p} (1-\frac{k}{p+k} )=\frac{1}{p} (\frac{p+k}{p+k} -\frac{k}{p+k} )=\frac{1}{p}* \frac{p}{p+k}=\frac{1}{p+k}[/tex]
(3) Soit n∈ℕ*
Alors [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}=\sum\limits^n_{k=1} {\frac{1}{n+k}} = \sum\limits^n_{k=1} {\frac{1}{n} (1-\frac{k}{n+k} )}=\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} { (1-\frac{k}{n+k} )}[/tex][tex]=(\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {1})-(\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}})=\frac{1}{n}*n-\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}=1-\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}[/tex]
D'où [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow 1-\frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}} \leq \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq \frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}[/tex]
Autrement dit, montrer que [tex]\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} \leq \frac{3}{4}[/tex] revient à montrer que [tex]\frac{1}{4} \leq \frac{1}{n}*\sum\limits^n_{k=1} {\frac{k}{n+k}}[/tex]
Je te laisse finir la preuve.
