Réponse :
ex1 avec J milieu de [CD]
Explications étape par étape
ex1) 3KA+KB=vec0 (nota tout est en vecteurs ajoute les flèches au dessus des segments)
3KA+KA+AB=0
AK=AB/4
construis les points K, G, I, et J
KJ=KB+BJ=(3/4)AB+(BD+BC)/2
KI=KA+AG/2=(-1/4)AB+(AB+BG)/2=
(-1/4)AB+(1/2)AB+(1/3)(BD+BC)/2
KI=(1/4)AB+(1/6)(BC+BD)
Conclusion HJ=3KI les points K,I,J sont alignés.
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ex2:Plaçons les points G et H
2GA+1GB=vec0
2GA+GA+AB=0
3AG=AB donc AG=(1/3)AB
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2HC+HD=vec0
2HC+HC+CD=0
3CH=CD
CH=(1/3)CD
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Plaçons nous dans le repère (A; vecAB; vecAC)=les coordonnées des points sont A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) ; O(1/2;1/2) G(1/3;0) et H(2/3;1)
Déterminons les équations des droites
(AC) y=x
(BD) y=-x+1
(GH) y=ax+b avec a= (yH-yG)/(xH-xG)=1/(1/3)=3 et comme yG=3*xG+b soit 0=3(1/3)+b d'où b=-1
(GH) y=3x-1
O est l'intersection de (AC) et(BD) par définition car ABCD est un parallélogramme
Soit O' l'intersection de (AC) et (GH)
xO'est solution de 3x-1=x soit 2x=1 x=1/2
si xO'=1/2, yO'=1/2 car il appartient à la droite (AC) y=x
Les coordonnées de O' sont (1/2; 1/2)
Conclusion: les points O et O' sont confondus et les 3 droites sont concourantes en O centre du parallélogramme..
