divisibilité par 3
1) abcd = ax1 000 + bx100 + cx10 +d
2) abcd = a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d
= 999a + a + 99b + b + 9c + c + d
= 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
3) 9(111a + 11b + c) est un produit de deux facteurs, le facteur 9 est divisible par 3, le produit est donc divisible par 3.
4) abcd est la somme d'un terme divisible par 9(111a+11b+c)
et du terme (a+b+c+d)
pour que cette somme soit divisible par 3 il faut que le second terme (a+b+c +d) soit divisible par 3.
a+b+c+d est la somme des chiffres du nombre
5) divisibilité par 9
on reprend le résultat
abcd = 9(111a + 11b + c) + (a + b + c + d)
le premier terme 9(111a + 11b + c) est divisible par 9
abcd sera divisible par 9 si et seulement si le second terme (a+b+c+d) est divisible par 9
6) on peut généraliser ce résultat en utilisant l'écriture du 1)
si le nombre a 5 chiffres on écrira
abcde = 10 000a + 1 000b + 100c + 10d + e
de même pour un plus grand nombre de chiffres
le raisonnement reste le même
