Réponse :Explications étape par étape
x appartient à]-oo;+oo[ car f(x) est définie sur R
ses limites
quand x tend vers -oo 2x-1 tend vers -oo et e^-x tend vers+oo donc f(x) tend vers -oo*+oo=-oo
qd x tend vers +oo 2x-1 tend vers +oo et e^-x tend vers 0+
f(x) tend vers +oo*0+ =o+ croissances comparées
la dérivée f'(x) f(x) est de la forme u*v donc f'(x)=u'v+v'u
f'(x)=2*e^-x -e^-x (2x-1)=e^x( 2-2x+1)=(-2x+3)e^-x
e^-x étant tjrs>0 lre signe de f'(x) dépend du signe de (-2x+3)
f'(x)=0 pour x=3/2
d'où la ligne f'(x).......+ ...... 0 ........-.................
calculons f(3/2)=(2*3/2 -1)e^-3/2= 2 *rac.e³=9 environ (vérifie)
ligne f(x).-oo....crois.......f(3/2)........décroi........0+
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f(x)=0 si (2x-1)=0 soit x=1/2 car e^-x est tjrs >0
et f(x) > ou=0 pour x>ou=1/2 soit x appartient [1/2;+oo[
