Réponse : Bonjour,
Exercice 51
Il faut utiliser le fait que si [tex]u[/tex] est une fonction, alors [tex](\sqrt{u} )'=\frac{u'}{2\sqrt{u} }[/tex].
Donc: [tex]\left(\sqrt{\frac{4x}{9} } \right)'=\frac{\left(\frac{4x}{9} \right)'}{2\sqrt{\frac{4x}{9} } } =\frac{\frac{4}{9} }{2\frac{\sqrt{4x} }{\sqrt{9} } } =\frac{\frac{4}{9} }{2\frac{2\sqrt{x} }{3} } =\frac{4}{9} \times \frac{3}{4\sqrt{x} } =\frac{1}{3\sqrt{x} }[/tex]
Exercice 52
[tex]f[/tex] est de la forme [tex]u.v[/tex], avec [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex], deux fonctions, et [tex](u.v)'=u'.v+v'.u[/tex]. Ici [tex]u=x^{2}+1, v=\sqrt{x}[/tex], donc:
[tex]f'(x)=(x^{2}+1)'.\sqrt{x} +(\sqrt{x} )'(x^{2}+1)\\f'(x)=2x\sqrt{x} +\frac{1}{2\sqrt{x} } (x^{2}+1)\\f'(x)=\frac{2x\sqrt{x}2\sqrt{x}+x^{2}+1 }{2\sqrt{x} } \\f'(x)=\frac{4x^{2}+x^{2}+1}{2\sqrt{x} } \\f'(x)=\frac{5x^{2}+1}{2\sqrt{x} }[/tex].
Réponse :
51) f(x) = √(4 x/9) = 2/3√x ⇒ f '(x) = 2/3 (1/2√x) = 1/3√x
52) f(x) = (x²+1)√x on a ici un produit de deux fonctions
(u x v) ' = u' v + v ' u
u = x²+ 1 ⇒ u ' = 2 x
v = √x ⇒ v ' = 1/2√x
⇒ f '(x) = 2 x√x + (x²+ 1)/2√x avec x > 0
= [2 x√x (2√x) + x² + 1]/2√x
= (4 x² + x² + 1)/2√x
f '(x) = (5 x²+ 1)/2√x = ((5 x² + 1)√x)/2 x = 5 x²√x + √x)/2 x
= 5/2) x√x + (√x)/2 x
Explications étape par étape