Réponse :
ex3
Explications étape par étape
f(x)=1/(e^2x+1)
1)limites: si x tend vers-oo, e^2x tend vers 0 donc f(x) tend vers1/1=1(-)
si x tend vers +oo, e^2x tend vers+oo donc f(x) tend vers 1/+oo=0(+)
2) f(x) a donc deux asymptotes horizontales y=0 et y=1
3)dérivée f(x)est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v² avec u=1 u'=0 et v=e^2x+1 v'=2e^2x
ce qui donne f'(x)=-2e^2x/(e^2x+1)²
4) tableau de variation: e^2x étant tjrs>0 f'(x) est <0 donc f(x) est décroissante sur R
x.......-oo..............................................................................+oo
f'(x)........................................-...................................................
f(x)..1(-).............................décroissante................................0(+)
5)f(0)=1/(e^0 +1)=1/2
f'(0)=-2(e^0)/(e^0+1)²=-2 /4=-1/2
6) Equationde (T0) y=f'(0)(x-0)+f(0)=(-1/2)x+1/2
8)(e²+1)/(e^-2 +1)=(e²+1)/(1/e²+1) mais 1/e²+1=(e²+1)/e²
ce qui donne (e²+1)*e²/(e²+1) et après simplification il reste e²
9)H(x)=(1/2)ln(e^2x+1) on dérive H(x) sachant que la derivée de lnu(x) est u'(x)/u(x) ce qui donne :
h(x)=(1/2)(2e^2x)/(e^2x+1)=(e^2x)/(e^2x +1)
10) Je cherche : j'ai pensé à une intégration par parties en posant f(x)=[e^2x/(e^2x+1)]*e^-2x
avec u'=e^2x /(e^2x+1) donc u=(1/2)ln(2^2x+1)
v=e^-2x donc v'=-2e^-2x
F(x)=u*v-P u'v (je n'ai pas vu la solution)
Espérons qu 'un prof de math viendra à notre secours..