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Réponse : a) Introduisons la fonction [tex]f[/tex] telle que [tex]u_{n+1}=f(u_{n})[/tex], on a donc [tex]f(x)=\sqrt{2x+8}[/tex].
Étudions les variations de [tex]f[/tex], on calcule la dérivée [tex]f'[/tex]:
[tex]f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x+8} } =\frac{1}{\sqrt{2x+8} }[/tex].
[tex]f'(x) >0[/tex] sur [tex][0;+\infty[[/tex], donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}+[/tex].
Démontrons par récurrence que [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], c'est à dire que [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
Initialisation: A l'ordre [tex]n=0[/tex], [tex]u_{0}=0, u_{1}=\sqrt{2u_{0}+8} =\sqrt{8}[/tex]. Donc [tex]u_{0} \leq u_{1}[/tex], la propriété est vraie à l'ordre n=0.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], et montrons là à l'ordre n+1, c'est à dire que [tex]u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence:
[tex]u_{n} \leq u_{n+1}\\f(u_{n}) \leq f(u_{n+1}) \quad car \: f \: est \: croissante\\u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].
Donc la propriété est vraie à l'ordre n+1, donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex], est donc croissante.
b) Dans un précédent devoir, j'avais montré que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, u_{n} \in [0;4][/tex]. Donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est bornée par 4.
Or une suite croissante et bornée converge, donc [tex](u_{n})[/tex] converge.
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