Réponse :
Explications étape par étape
1)
Algo d'Euclide
2n+1 = 2 * n + 1
n = n * 1 + 0
dernier reste non-nul = 1 ==> PGCD(n ; 2n+1) = 1
2a et b)
Si n=2, α = β = 5 ==> Δ=5
Si n>2
Algo Euclide par soustraction successives :
PGCD(2n+1 ; n+3)
= PGCD( (2n+1)-(n+3) ; n+3 ) = PGCD(n-2 ; n+3)
= PGCD(n-2 ; (n+3)-(n-2) ) = PGCD(n-2 ; 5)
Restes possibles de la division de (n-2) par 5 :
0 : si n ≡ 2 [5] ==> Δ=5
r = 1, 2, 3, 4 tous premiers avec 5 ==> Δ=1
Si on n'a pas n ≡ 2 [5], α et β sont premiers entre eux et ne peuvent évidemment pas être simultanément multiples de 5
2c)
n = 5k + 2 avec k € |N
3a)
Si n=1, a=b=0
On peut donc, dans a comme dans b, mettre (n-1) en facteur. On obtient :
a = n(n-1)(n+3)
b=(n-1)(2n+1)
3b)
PGCD( n(n+3) ; 2n+1 ) = PGCD(n ; 2n+1) x PGCD(n+3 ; 2n+1)
PGCD(n ; 2n+1) = 1 (voir 1.)
==> PGCD( n(n+3) ; 2n+1 ) = PGCD(n+3 ; 2n+1) = Δ
3c)
n-1 est premier avec Δ car :
-soit Δ=1
-soit Δ=5 avec n-2 multiple de 5 ( et donc pas n-1 )
d = PGCD(a ; b) = PGCD( n(n-1)(n+3) ; (n-1)(2n+1) ) = (n-1) PGCD(n(n+3) ; 2n+1)
d = (n-1) x Δ
3d)
n=2002 ==> n-2 = 2000 ≡ 0 [5] ==> Δ = 5
PGCD(a ; b) = 2001 x 5 = 10005
